Projekttitel:

Schätzung von Einzugsgebieten polynominaler nichtlinearer dynamischer Systeme als semidefinite Optimierungsaufgabe

Leiter und Mitarbeiter:
Prof. Dr.-Ing. Bernd Tibken, Dipl.-Ing. Ossama Hachicho

Projektbeschreibung

Bei der Analyse und Synthese von nichtlinearen dynamischen Systemen kommt der Stabilität derselben eine Schlüsselrolle zu. Im Gegensatz zu linearen Systemen, deren Stabilität bzw. Instabilität systeminhärent und global ist, spricht man bei nichtlinearen Systemen von der Stabilität einzelner Ruhelagen, auch Gleichgewichtslagen genannt, die sowohl lokal als auch global sein kann.

Mittels der Ljapunow’schen Stabilitätstheorie können Ruhelagen auf Stabilität untersucht werden. Dabei lässt sich das gesamte Einzugsgebiet einer asymptotisch stabilen Ruhelage in der Regel nicht in Form einer geschlossenen Lösung bestimmen. Daher ist eine „gute“ Schätzung, die gänzlich im Einzugsgebiet liegt, unumgänglich.

Eine Art „erste Nährung“ kann mit Hilfe geeigneter quadratischer Ljapunow-Funktionen (LF) erzielt werden. Dabei sucht man das größte Ellipsoid, das durch die Niveau-Hyperflächen der gegebenen quadratischen LF definiert ist, und gänzlich im Bereich der negativen Definitheit ihrer zeitlichen Ableitung liegt. Die „Qualität“ der mit Hilfe quadratischer LF erzielten Schätzung ist durch ihre ellipsoidale Form erheblich beschränkt. Außerdem ist die Bestimmung einer im Sinne der Schätzung optimalen LF, besonders für Systeme höherer Ordnung, nur in wenigen Fällen möglich.

Um die Schätzung zu verbessern, müssen LF höheren Grades herangezogen werden. Die Nachteile existierender Methoden zur Konstruktion von LF höheren Grades liegen darin, dass die entsprechenden Schätzungen nicht monoton mit dem Grad der LF wachsen, oder dass sie nur für eine relativ kleine Klasse nichtlinearer Systeme anwendbar sind.

Basierend auf neuen Resultaten in der mathematischen Theorie der Momente kann die Konstruktion von LF höheren Grades als Lösung eines semidefiniten Optimierungsproblems formuliert werden. Im Gegensatz zu den bis dato bekannten Algorithmen weisen die mit Hilfe dieser LF erzielten Schätzungen monotones Wachsen auf. Diese Methode ist außerdem für die wichtige Klasse der polynominalen nichtlinearen dynamischen Systeme anwendbar.

Laufzeit: 2000-2003

Drittmittelgeber: Eigene Mittel

Schlagworte: Ljapunow’sche Stabilitätstheorie, semidefinite Optimierung, Theorie der Momente.

Veröffentlichungen

• B. Tibken; Estimation of the Domain of Attraction for Polynomial Systemsvia LMI’s ,Proceedings of the 39^th IEEE Conference on Decision and Control, 12-15 December 2000, Sydney, Australia, pp. 3860-3864, 2000.

• B. Tibken, O. Hachicho, Estimation Of The Domain Of Attraction For Polynomial Systems Using Multidimensional Grids, Proceedings of the 39^th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 3870-3874, Sydney, Australia, 2000.

• B. Tibken, O. Hachicho, Test for Robust positivity of polynomials with uncertain coefficients using LMI’s, Proceedings of the XI. International Symposium on Theoretical Electrical Engineering, Linz, Austria, 2001.

• O. Hachicho, B. Tibken, Estimating domains of attractions of a class of nonlinear dynamical systems with LMI methods based on the theory of moments, Proceedings of the 41^st IEEE Conference on Decision and Control, pp. 3150-3155, Las Vegas, USA, 2002.